Una nueva forma de hacer que las ecuaciones cuadráticas sean fáciles

Los antiguos babilonios eran un grupo extraordinario. Entre muchos logros extraordinarios, encontraron una solución matemática ahora famosa para un desafío desagradable: pagar impuestos.

El problema particular para el trabajador ordinario de Babilonia era este: dada una factura de impuestos que debe pagarse en cultivos, ¿cuánto debo aumentar el tamaño de mi campo para pagarla?

Este problema se puede escribir como una ecuación cuadrática de la forma Ax2+Bx+C=0. Y se resuelve con esta fórmula:

Hoy, más de 4000 años después, millones de personas tienen la fórmula cuadrática grabada en sus mentes gracias a la forma en que se enseñan las matemáticas en todo el planeta.

Pero mucha menos gente puede derivar esta expresión. Eso también se debe a la forma en que se enseñan las matemáticas: la derivación habitual se basa en un truco matemático, llamado completar el cuadrado, que está lejos de ser intuitivo. De hecho, después de los babilonios, los matemáticos tardaron muchos siglos en dar con esta prueba.

Antes y después, los matemáticos han encontrado una amplia gama de otras formas de derivar la fórmula. Pero todos ellos también son complicados y no intuitivos.

Entonces es fácil imaginar que los matemáticos deben haber agotado el problema. Simplemente no puede haber una mejor manera de derivar la fórmula cuadrática.

Ingrese a Po-Shen Loh, un matemático de la Universidad Carnegie Mellon en Pittsburgh, quien ha encontrado una forma más simple, una que parece haber pasado desapercibida en estos 4.000 años.

El enfoque de Loh no se basa en completar el cuadrado ni en ningún otro truco matemático difícil. De hecho, es lo suficientemente simple como para funcionar como un método general en sí mismo, lo que significa que los estudiantes no necesitan recordar la fórmula en absoluto. La derivación tiene el potencial de desmitificar la fórmula cuadrática para estudiantes de todo el mundo, dice.

El nuevo enfoque es sencillo. Comienza observando que si una ecuación cuadrática se puede factorizar de la siguiente manera:

Entonces el lado derecho es igual a 0 cuando x=R o cuando x=S. Entonces esas serían las raíces de cuadrático.

Multiplicando el lado derecho da

Esto es cierto cuando -B=R+S y cuando C=RS.

Ahora aquí viene la parte inteligente. Loh señala que los números, R y S, suman -B cuando su promedio es -B/2.

Así que buscamos dos números de la forma -B/2±z, donde z es una sola cantidad desconocida, dice. Luego podemos multiplicar estos números para obtener una expresión para C. Entonces

Luego, un simple reordenamiento da

Lo que significa que la solución para una ecuación cuadrática es:

¡Voila! Esa es la fórmula cuadrática.

[La versión más general se puede derivar dividiendo la ecuación Ax2+Bx+C=0 por A para dar x2+B/Ax+C/A=0 y luego repitiendo el proceso anterior.]

Esa es una mejora muy significativa con respecto al método anterior, y Loh muestra por qué con un ejemplo simple.

Encuentra las raíces de la siguiente cuadrática: x2 - 2x+4=0

El método tradicional sería calcular los valores de A, B y C e introducirlos en la fórmula cuadrática. Pero el enfoque de Loh resuelve el problema de manera intuitiva. El primer paso es pensar que las dos raíces de la ecuación deben ser iguales a -B/2±z = 1±z

Y como su producto debe ser C=4, podemos escribir:

Entonces las raíces son

Intentar el mismo problema usando el método tradicional es mucho más complicado. ¡Venga, inténtalo! El nuevo enfoque es mucho más fácil e intuitivo, sobre todo porque no requiere que memorices la fórmula en absoluto.

Una pregunta interesante es por qué nadie ha tropezado y compartido ampliamente este método antes.

Loh dice que 'en realidad estaría muy sorprendido si este enfoque ha eludido por completo el descubrimiento humano hasta el día de hoy, dados los 4000 años de historia sobre este tema y los miles de millones de personas que han encontrado la fórmula y su prueba'. Sin embargo, esta técnica ciertamente no se enseña ni se conoce ampliamente.

Loh ha buscado en la historia de las matemáticas un enfoque que se asemeje al suyo, sin éxito. Ha analizado los métodos desarrollados por los antiguos babilonios, chinos, griegos, indios y árabes, así como por los matemáticos modernos desde el Renacimiento hasta la actualidad. Ninguno de ellos parece haber dado este paso, a pesar de que el álgebra es simple y se conoce desde hace siglos.

Entonces, ¿por qué ahora? Loh piensa que está relacionado con la forma en que el enfoque convencional prueba que las ecuaciones cuadráticas tienen dos raíces. Tal vez la razón sea porque en realidad no es matemáticamente trivial hacer la implicación inversa: eso siempre tiene dos raíces, y esas raíces tienen suma −B y producto C, dice.

Loh, quien es un educador de matemáticas y divulgador de cierta notoriedad, descubrió su enfoque mientras analizaba los currículos de matemáticas para escolares, con el objetivo de desarrollar nuevas explicaciones. La derivación surgió de este proceso.

La pregunta ahora es cuán ampliamente se propagará y cuán rápido. Para acelerar la adopción, Loh ha producido un video sobre el método . De cualquier manera, las calculadoras de impuestos babilónicas seguramente habrían quedado impresionadas.

Ref: arxiv.org/abs/1910.06709 : Una prueba simple de la fórmula cuadrática

Corrección: modificamos una oración para decir que el método nunca antes se había compartido ampliamente e incluimos una cita de Loh.

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