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Primeras leyes de conservación derivadas de un universo virtual
Una de las ideas más importantes, poderosas y hermosas de la física moderna es el teorema de Noether. Esto esencialmente dice que las leyes fundamentales de la física son manifestaciones de simetría en el universo.
Entonces, si el universo tiene simetría rotacional, entonces también debe obedecer la ley de conservación del momento angular, si tiene una simetría de tiempo, entonces la energía debe conservarse y así sucesivamente.
Es difícil subestimar el profundo significado de este enfoque. Parece romper la estructura misma del universo para revelar una belleza muy poderosa debajo.
Y, sin embargo, si observa más de cerca el teorema de Noether, pronto encontrará sus graves limitaciones. Resulta que este enfoque solo se puede aplicar a ciertos tipos de sistemas que tienen simetrías continuas.
Eso excluye específicamente los sistemas discretos, que proceden paso a paso. Estos incluyen sistemas como las máquinas de Turing, con los que uno o dos lectores pueden estar familiarizados.
Tomemos, por ejemplo, el famoso juego de la vida de Conway, en el que se pueden generar formas similares a la vida utilizando un autómata celular. Esto tiene lugar en una cuadrícula que es simétrica bajo rotaciones de un cuarto de vuelta, pero no bajo rotaciones continuas. Y en este mundo, el tiempo avanza en pasos discretos en lugar de continuos.
Claramente, el teorema de Noether no se puede aplicar. Entonces, ¿qué pasa con las leyes de conservación? En el juego de la vida, ¿tenemos que abandonar la conservación de la energía, el momento angular y cosas por el estilo?
Hoy, Tommasso Tofoli de la Universidad de Boston y Silvio Capobianco de la Universidad Tecnológica de Tallin en Estonia abordan exactamente estas preguntas. Su respuesta es una especie de alivio: encuentran una familia de sistemas discretos que obedecen a un teorema similar a Noether y muestran por qué.
El sistema que estudian se llama modelo de espín de Ising. Es una matriz 2D de imanes elementales que pueden apuntar hacia arriba o hacia abajo. Cada imán está acoplado a sus cuatro vecinos más cercanos mediante el equivalente matemático de una goma elástica. La banda se estira si el vecino gira en la dirección opuesta y se suelta si gira en la misma dirección.
La pregunta que estudian Toffoli y Capobianco es cómo se comporta este sistema, cómo los giros cambian de un estado a otro, pero primero imponen un límite importante al tipo de interacciones que pueden ocurrir.
Esta condición es que un giro se volteará solo si al hacerlo deja inalterada la suma de las energías potenciales de los cuatro enlaces circundantes. Esto puede suceder si dos de los vecinos tienen giros paralelos mientras que los otros dos tienen giros antiparalelos. Este tipo de sistema se denomina modelo de Ising microcanónico.
Esta condición tiene importantes consecuencias. Significa que la energía potencial siempre se conserva.
Pero piense en esto con más detalle y se vuelve un poco difícil precisar exactamente lo que queremos decir con energía. Por supuesto, el número de imanes que giran hacia arriba y hacia abajo puede cambiar drásticamente, por lo que esto no es lo que se conserva. Sin embargo, el límite entre ellos siempre debe tener la misma longitud. Entonces, si definimos la longitud de esta línea como energía, entonces esto es lo que se conserva naturalmente.
(Por supuesto, los imanes, las gomas elásticas y las energías potenciales no son formas reales sino simplemente útiles de pensar en este sistema).
Esa puede parecer una definición arbitraria de energía, pero Toffoli y Capobianco continúan mostrando que tiene las mismas propiedades matemáticas de la energía en el universo real (definir la energía en nuestro mundo es en sí mismo muy difícil de hacer).
Por supuesto, hay otro aspecto de este sistema que es fácil de olvidar pero crucial para la conservación. Esta es la estructura del espacio-tiempo discreto en el que tiene lugar toda la acción, es decir, la cuadrícula 2D y los pasos de tiempo sobre los que se produce el cambio.
El clímax del artículo de Toffoli y Capobianco es su demostración de que la energía solo se puede conservar si el espacio-tiempo es invariante, que todas las direcciones y tiempos en este Universo Ising son esencialmente equivalentes.
De esta manera, muestran cómo se puede aplicar un teorema similar a Noether en un universo discreto.
Eso es muy significativo. Significa que las mismas reglas de simetría que se han aplicado poderosamente a la física moderna también pueden aplicarse a las muchas disciplinas nuevas que están comenzando a explotar modelos discretos. Estos incluyen muchas ciencias sociales, ciencia de la complejidad, economía, ciencia web y, por supuesto, lo más importante: la informática.
De hecho, estos chicos han utilizado la simetría para derivar leyes de conservación en un mundo virtual por primera vez.
Pero el significado es aún más profundo. Lo que une a todas estas disciplinas es la información. Todos forman parte de un nuevo impulso en la ciencia moderna que ignora las propiedades superficiales de la realidad física y, en cambio, se centra en un cimiento más profundo: la información sobre la que se construye el universo.
Aunque no dicen esto explícitamente, lo que están estudiando Toffoli y Capobianco es el papel que pueden jugar los teoremas similares a Noether en este nuevo mundo de ciencia basada en la información.
Por supuesto, también plantea muchas preguntas. Toffoli y Capobianco dan un solo ejemplo de un sistema discreto en el que se aplica un teorema similar a Noether. Lo que mucha gente querrá saber es cómo se puede generalizar. Por ejemplo, ¿se puede aplicar al juego de la vida de Conway?
De cualquier manera, Toffoli y Capobianco han tenido un comienzo prometedor. Como ellos mismos dicen: Este es solo el comienzo de lo que promete ser una línea productiva de investigación.
Ref: arxiv.org/abs/1103.4785 : ¿Se puede salvar algo del teorema de Noether para sistemas dinámicos discretos?
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