Primer mosaico aperiódico con una sola forma

El problema de colocar baldosas en un avión ha fascinado tanto a los constructores como a los matemáticos desde tiempos inmemoriales. A primera vista, la tarea es sencilla: cuadrados, triángulos, hexágonos hacen el truco para producir estructuras periódicas bien conocidas. Lo mismo ocurre con cualquier número de formas irregulares y combinaciones de ellas.

Una pregunta mucho más complicada es preguntar qué formas pueden colocar un plano en un patrón que no se repita. En 1962, el matemático Robert Berger descubrió el primer juego de mosaicos que funcionó. Este juego constaba de 20.426 formas: no es un juego fácil de colocar en mosaico en el baño.

Con una cálida consideración por los que mejoran el hogar, Berger luego redujo el conjunto a 104 formas y, desde entonces, otros han reducido aún más el número. Hoy en día, los más famosos son los azulejos aperiódicos de Penrose, descubiertos a principios de la década de 1970, que pueden cubrir un avión usando solo dos formas: cometas y dardos.

El problema de encontrar un solo mosaico que pueda hacer el trabajo se llama problema de Einstein; nada que ver con el gran hombre, excepto del alemán por uno, ein, y por tile, stein. Pero la búsqueda de un einstein ha resultado infructuosa. Hasta ahora.

Hoy, Joshua Socolar y Joan Taylor de la Universidad de Duke anuncian que han resuelto el problema de Einstein y, en el proceso, han descubierto una forma completamente nueva de abordar el problema.

El mosaico que han descubierto es esencialmente una forma hexagonal modificada. Pero utilizan un par de trucos para lograr el resultado. Primero, se permiten usar un mosaico y su imagen especular para enlosar un avión de manera aperiódica.

Obviamente, algunos mosaicos pueden sentir que esto está doblando un poco las reglas, por lo que Socolar y Taylor continúan mostrando que la imagen especular no es necesaria si se permite que el mosaico tenga una forma 3D (ver más abajo).

El mosaico presentado aquí es el único ejemplo conocido de un mosaico aperiódico, dicen.

Ese es un resultado impresionante. Después de que Penrose reveló sus teselaciones aperiódicas, los físicos señalaron que ciertos cristales adoptaron patrones similares. Será interesante ver si la naturaleza también ha descubierto la solución de Socolar y Taylor.

Por supuesto, el trabajo deja un problema sustancial abierto: ¿es posible enlosar un plano con un patrón no repetitivo usando un solo mosaico 2D?

Me imagino que Taylor y Socolar están desconcertados sobre la pared de un baño en este mismo momento.

Ref: arxiv.org/abs/1003.4279 : Una baldosa hexagonal aperiódica

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