Las curiosas matemáticas de las reacciones en cadena de dominó

Probablemente haya visto el efecto dominó en acción donde una fila de losas verticales se derrumban sucesivamente. Por lo general, las fichas de dominó son todas del mismo tamaño, pero una ficha de dominó que se derriba en realidad tiene suficiente impulso para empujar a una más grande. Por lo tanto, es posible configurar una fila de fichas de dominó sucesivamente más grandes que pueden ser derribadas por el empuje de una pequeña losa al principio: una reacción en cadena de dominó.

Entonces, aquí hay una pregunta interesante. ¿Cuánto más grande puede ser cada dominó sucesivo?

Hoy, J M J van Leeuwen de la Universidad de Leiden en Holanda toma este problema por la nuca y le da una buena sacudida matemática. Resulta que la respuesta, el factor de crecimiento máximo, no es tan simple como podría sugerir el problema.

Hay varios videos, como este , en Internet que dan una buena demostración del efecto de reacción en cadena. El pensamiento estándar es que un dominó puede derribar a otro aproximadamente 1,5 veces más grande, siempre que el espacio entre ellos sea óptimo.

La física básica es sencilla. Colocar un dominó en su extremo almacena una cierta cantidad de energía potencial que se libera al empujarlo. Sin embargo, la fuerza requerida para derribar el dominó es menor que la fuerza que genera cuando cae. Es esta amplificación de fuerza la que se puede utilizar para derribar dominós más grandes.

Pero el diablo está en los detalles, ya que hay varias formas en que las fichas de dominó pierden energía al caer. Por ejemplo, un dominó que se cae se posa sobre su vecino. Entonces las colisiones son inelásticas, que es la principal fuente de energía perdida. Y en la práctica, las fichas de dominó pueden deslizarse por el suelo cuando se golpean y esto puede impedir seriamente el vuelco.

De modo que van Leeuwen hace una serie de simplificaciones en su análisis matemático. Asume que la fricción entre el suelo y las fichas de dominó es efectivamente infinita, de modo que no pueden deslizarse. Él asume que las colisiones son completamente inelásticas, por lo que las fichas de dominó permanecen en contacto entre sí cuando chocan. También asume que una vez en contacto entre sí, las fichas de dominó se deslizan sin fricción unas sobre otras.

Dados estos supuestos, muestra que con un espaciado óptimo, cada dominó sucesivo no puede ser más de aproximadamente el doble de grande que el anterior, que es un factor de crecimiento máximo de no más de aproximadamente 2.

Eso es significativamente más de lo que se suponía en el pasado. Admite que alcanzar este límite probablemente no sea realista en la práctica porque las suposiciones nunca pueden cumplirse perfectamente. Por ejemplo, las fichas de dominó siempre se deslizarán por una pequeña cantidad.

Sin embargo, incluso un factor de crecimiento de 1,5 conduce a reacciones en cadena extraordinarias. Una serie de 13 fichas de dominó que crecen a este ritmo amplificará la fuerza necesaria para empujar al más pequeño por un factor de 2 mil millones. Y no se necesita una serie particularmente larga antes de que las fichas de dominó más grandes sean del tamaño de rascacielos.

¡Matemáticas entretenidas!

Ref: arxiv.org/abs/1301.0615 : Ampliación de dominó

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