La ley de Benford y una teoría del todo

En 1938, el físico Frank Benford hizo un descubrimiento extraordinario sobre los números. Descubrió que en muchas listas de números extraídos de datos reales, es mucho más probable que el primer dígito sea un 1 que un 9. De hecho, la distribución de los primeros dígitos sigue una ley logarítmica. Por lo tanto, es probable que el primer dígito sea 1 aproximadamente el 30 por ciento de las veces, mientras que el número 9 aparece solo el cinco por ciento de las veces.

Ese es un descubrimiento inquietante y contradictorio. ¿Por qué los números no se distribuyen uniformemente en estas listas? Una respuesta es que si los números tienen este tipo de distribución, entonces debe ser invariante de escala. Por lo tanto, cambiar un conjunto de datos medidos en pulgadas a uno medido en centímetros no debería cambiar la distribución. Si ese es el caso, entonces la única forma que puede tomar dicha distribución es logarítmica.

Pero si bien este es un argumento poderoso, en primer lugar no explica la existencia de la distribución.

Luego está el hecho de que la ley de Benford parece aplicarse solo a ciertos tipos de datos. Los físicos han descubierto que surge en una asombrosa variedad de conjuntos de datos. Éstos son solo algunos: las áreas de los lagos, las longitudes de los ríos, las constantes físicas, los índices bursátiles, el tamaño de los archivos en una computadora personal, etc.

Sin embargo, hay muchos conjuntos de datos que no siguen la ley de Benford, como los números de teléfono y de lotería.

¿Cuál es la diferencia entre estos conjuntos de datos que hace que la ley de Benford se aplique o no? Es difícil escapar de la sensación de que algo más profundo debe estar sucediendo.

Hoy, Lijing Shao y Bo-Qiang Ma de la Universidad de Pekín en China brindan una nueva perspectiva sobre la naturaleza de la ley de Benford. Examinan cómo se aplica la ley de Benford a tres tipos de distribuciones estadísticas ampliamente utilizadas en física.

Estos son: la distribución de Boltzmann-Gibbs, que es una medida de probabilidad utilizada para describir la distribución de los estados de un sistema; la distribución de Fermi-Dirac, que es una medida de las energías de partículas individuales que obedecen al principio de exclusión de Pauli (es decir, fermiones); y finalmente la distribución de Bose-Einstein, una medida de las energías de partículas individuales que no obedecen al principio de exclusión de Pauli (es decir, los bosones).

Lijing y Bo-Qiang dicen que las distribuciones de las distribuciones de Boltzmann-Gibbs y Fermi-Dirac fluctúan de manera periódica alrededor de la distribución de Benford con respecto a la temperatura del sistema. La distribución de Bose Einstein, por otro lado, se ajusta a la Ley de Benford exactamente cualquiera que sea la temperatura.

¿Qué hacer con este descubrimiento? Lijing y Bo-Qiang dicen que las distribuciones logarítmicas son una característica general de la física estadística y, por lo tanto, podrían ser un principio más fundamental detrás de la complejidad de la naturaleza.

Esa es una idea intrigante. ¿Podría ser que la ley de Benford insinúe algún tipo de teoría subyacente que gobierne la naturaleza de muchos sistemas físicos? Quizás.

Pero, ¿qué pasa entonces con los conjuntos de datos que no se ajustan a la ley de Benford? Cualquier explicación decente deberá explicar por qué algunos conjuntos de datos siguen la ley y otros no, y parece que Lijing y Bo-Qiang están tan lejos como siempre de esto.

Ref: arxiv.org/abs/1005.0660 : La ley de los dígitos significativos en física estadística

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