La IA ha descifrado un rompecabezas matemático clave para comprender nuestro mundo

paisaje generado matemáticamente

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A menos que seas físico o ingeniero, realmente no hay muchas razones para que sepas sobre ecuaciones diferenciales parciales. Sé. Después de años de estudiarlos detenidamente en la licenciatura mientras estudiaba ingeniería mecánica, nunca los he usado desde entonces en el mundo real.

Pero las ecuaciones diferenciales parciales, o PDE, también son algo mágicas. Son una categoría de ecuaciones matemáticas que son realmente buenas para describir cambios en el espacio y el tiempo y, por lo tanto, muy útiles para describir los fenómenos físicos en nuestro universo. Se pueden usar para modelar todo, desde órbitas planetarias hasta placas tectónicas y la turbulencia del aire que perturba un vuelo, lo que a su vez nos permite hacer cosas prácticas como predecir la actividad sísmica y diseñar aviones seguros.

El problema es que las PDE son notoriamente difíciles de resolver. Y aquí, el significado de resolver quizás se ilustre mejor con un ejemplo. Digamos que está tratando de simular la turbulencia del aire para probar un nuevo diseño de avión. Existe una PDE conocida llamada Navier-Stokes que se usa para describir el movimiento de cualquier fluido. Resolver Navier-Stokes le permite tomar una instantánea del movimiento del aire (también conocido como condiciones del viento) en cualquier momento y modelar cómo continuará moviéndose, o cómo se movía antes.



Estos cálculos son muy complejos y computacionalmente intensivos, razón por la cual las disciplinas que usan muchas PDE a menudo dependen de las supercomputadoras para hacer los cálculos. También es por eso que el campo de la IA se ha interesado especialmente en estas ecuaciones. Si pudiéramos usar el aprendizaje profundo para acelerar el proceso de resolverlos, podría ser muy bueno para la investigación científica y la ingeniería.

Ahora los investigadores de Caltech han introducido una nueva técnica de aprendizaje profundo para resolver PDE que es dramáticamente más preciso que los métodos de aprendizaje profundo desarrollados anteriormente. También es mucho más generalizable, capaz de resolver familias enteras de PDE, como la ecuación de Navier-Stokes para cualquier tipo de fluido, sin necesidad de volver a entrenar. Finalmente, es 1000 veces más rápido que las fórmulas matemáticas tradicionales, lo que aliviaría nuestra dependencia de las supercomputadoras y aumentaría nuestra capacidad computacional para modelar problemas aún más grandes. Así es. Dale.

Hora del martillo

Antes de sumergirnos en cómo los investigadores hicieron esto, primero apreciemos los resultados. En el gif a continuación, puede ver una demostración impresionante. La primera columna muestra dos instantáneas del movimiento de un fluido; el segundo muestra cómo el fluido continuó moviéndose en la vida real; y el tercero muestra cómo la red neuronal predijo que se movería el fluido. Básicamente se ve idéntico al segundo.



El papel ha llegado mucho alboroto en Twitter, e incluso un saludo del rapero MC Hammer . Sí, en serio.

Bien, volvamos a cómo lo hicieron.



Cuando la función encaja

Lo primero que hay que entender aquí es que las redes neuronales son fundamentalmente aproximadores de funciones. (¿Decir qué?) Cuando están entrenando en un conjunto de datos de entradas y salidas emparejadas, en realidad están calculando la función, o serie de operaciones matemáticas, que transpondrán una a la otra. Piensa en construir un detector de gatos. Estás entrenando la red neuronal alimentándola con muchas imágenes de gatos y cosas que no son gatos (las entradas) y etiquetando cada grupo con un 1 o un 0, respectivamente (las salidas). Luego, la red neuronal busca la mejor función que pueda convertir cada imagen de un gato en un 1 y cada imagen de todo lo demás en un 0. Así es como puede mirar una nueva imagen y decirte si es un gato o no. Está usando la función que encontró para calcular su respuesta, y si su entrenamiento fue bueno, lo hará bien la mayor parte del tiempo.

Convenientemente, este proceso de aproximación de funciones es lo que necesitamos para resolver una PDE. En última instancia, estamos tratando de encontrar una función que describa mejor, digamos, el movimiento de las partículas de aire en el espacio y el tiempo físicos.

Ahora aquí está el quid del papel. Las redes neuronales generalmente se entrenan para aproximar funciones entre entradas y salidas definidas en el espacio euclidiano, su gráfico clásico con ejes x, y y z. Pero esta vez, los investigadores decidieron definir las entradas y salidas en el espacio de Fourier, que es un tipo especial de gráfico para trazar frecuencias de onda. La intuición que extrajeron del trabajo en otros campos es que algo así como el movimiento del aire en realidad puede describirse como una combinación de frecuencias de onda, dice Anima Anandkumar, profesora de Caltech que supervisó la investigación junto con sus colegas, los profesores Andrew Stuart y Kaushik. Bhattacharya. La dirección general del viento a nivel macro es como una baja frecuencia con ondas letárgicas muy largas, mientras que los pequeños remolinos que se forman a nivel micro son como frecuencias altas con ondas muy cortas y rápidas.



¿Por qué importa esto? Porque es mucho más fácil aproximar una función de Fourier en el espacio de Fourier que discutir con PDE en el espacio euclidiano, lo que simplifica enormemente el trabajo de la red neuronal. Señale importantes ganancias de precisión y eficiencia: además de su enorme ventaja de velocidad sobre los métodos tradicionales, su técnica logra una tasa de error un 30 % más baja al resolver Navier-Stokes que los métodos de aprendizaje profundo anteriores.

Todo es extremadamente inteligente y también hace que el método sea más generalizable. Los métodos anteriores de aprendizaje profundo tenían que entrenarse por separado para cada tipo de fluido, mientras que este solo necesita entrenarse una vez para manejarlos a todos, según lo confirmado por los experimentos de los investigadores. Aunque todavía no han intentado extender esto a otros ejemplos, también debería poder manejar todas las composiciones de la tierra al resolver PDE relacionadas con la actividad sísmica, o cada tipo de material al resolver PDE relacionadas con la conductividad térmica.

Super-simulación

Los profesores y sus estudiantes de doctorado no hicieron esta investigación solo por diversión teórica. Quieren llevar la IA a más disciplinas científicas. Fue a través de conversaciones con varios colaboradores en ciencia climática, sismología y ciencia de materiales que Anandkumar decidió por primera vez abordar el desafío PDE con sus colegas y estudiantes. Ahora están trabajando para poner en práctica su método con otros investigadores de Caltech y el Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley.

Un tema de investigación que entusiasma especialmente a Anandkumar es el cambio climático. Navier-Stokes no solo es bueno para modelar la turbulencia del aire; también se usa para modelar patrones climáticos. Tener buenas predicciones meteorológicas detalladas a escala global es un problema tan desafiante, dice, e incluso en las supercomputadoras más grandes, no podemos hacerlo a escala global hoy en día. Entonces, si podemos usar estos métodos para acelerar toda la tubería, eso sería tremendamente impactante.

También hay muchas, muchas más aplicaciones, agrega. En ese sentido, el cielo es el límite, ya que tenemos una forma general de acelerar todas estas aplicaciones.

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