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'Infinity Computer' calcula exactamente el área de la alfombra Sierpinski
Una alfombra Sierpinksi es uno de los objetos fractales más famosos de las matemáticas. Crear uno es un procedimiento iterativo. Comience con un cuadrado, divídalo en nueve cuadrados iguales y elimine el central. Eso deja ocho cuadrados alrededor de un agujero cuadrado central.
En la siguiente iteración, repita este proceso con cada uno de los ocho cuadrados restantes y así sucesivamente (ver arriba).
Un problema interesante es encontrar el área de un triángulo de Sierpinski. Claramente, esto cambia con cada iteración. Suponiendo que el cuadrado original tiene un área igual a 1, el área después de la primera iteración es 8/9. Después de la segunda iteración, es (8/9) ^ 2; después del tercero es (8/9) ^ 3 y así sucesivamente.
Entonces, el área de una alfombra de Sierpinski después de n iteraciones es (8/9) ^ n. Eso es sencillo.
Pero, ¿cuál es el área de la alfombra después de un número infinito de iteraciones?
Las matemáticas ordinarias no tienen respuesta a esta pregunta porque carecen de las herramientas para manejar el infinito. En cambio, los matemáticos observan las propiedades del sistema matemático y cómo se comporta cuando tiende hacia el infinito. Incluso tienen muchas herramientas formales para explorar estos límites. Pero las propiedades en el infinito deben asumirse.
En este caso, el área de la alfombra tiende a cero ya que el número de iteraciones tiende a infinito, por lo que el área de una alfombra de Sierpinski es cero.
Eso deja a muchos matemáticos con un sabor amargo en la boca. La razón es que el área de una alfombra Sierpinski cercana al infinito debería ser muy sensible a su forma original, ya sea un cuadrado o algún otro patrón. Pero el proceso de encontrar los límites desdibuja este comportamiento.
Por ejemplo, en lugar de comenzar con un cuadrado, imagine que comienza con la forma en la esquina superior izquierda que tiene la esquina de la figura anterior, llamémosla una rosquilla cuadrada. La rosquilla cuadrada consta de ocho cuadrados, cada uno con lados de 1/3 de longitud. Obviamente, el área de esta alfombra Sierpinksi tiende a cero cuando n tiende a infinito.
Pero la alfombra cuadrada en forma de rosquilla está un paso por delante de la alfombra tradicional de Sierpinski, pero eso se pierde en el enfoque tradicional. En el infinito se les trata como iguales.
Si eso no suena muy significativo, imagine ejecutar el proceso a la inversa, comenzando desde el infinito y trabajando hacia atrás para terminar con un cuadrado o una dona cuadrada o alguna otra forma en la secuencia de la alfombra.
En ese caso, cada forma se puede crear con el mismo (infinito) número de pasos, por lo que no es posible distinguirlos. Eso es claramente absurdo.
Hoy, Yaroslav Sergeyev, matemático de la Universidad de Calabria en Italia resuelve este problema (y la versión tridimensional análoga llamada esponja de Menger).
Durante los últimos años, Sergeyev ha estado defendiendo un nuevo tipo de matemáticas llamado computación infinita. La idea básica es reemplazar la noción de infinito con un nuevo número que Sergeyev llama Grossone, que escribe así:
Sergeyev comienza agregando un nuevo axioma al axioma de los números reales, al que llama el axioma de la unidad infinita. Esto introduce Grossone, la unidad infinita.
Debido a que se rige por los otros axiomas de los números reales, el bruto uno también se comporta de manera muy similar a uno. Entonces es posible multiplicar en bruto uno, dividirlo, sumarlo y restarlo, tal como es posible con otros números reales.
Eso de repente hace que trabajar en el infinito sea mucho más fácil mediante el uso de un proceso de computación que Sergeyev llama computadora del infinito, que tiene incorporado el axioma adicional. La introducción de uno bruto brinda la posibilidad de trabajar con cantidades finitas, infinitas e infinitesimales numéricamente, dice.
Para mostrar su poder, trabaja a través de los ejemplos de alfombras de Sierpinski dados anteriormente, revelando cómo es posible realizar un seguimiento del número de iteraciones en el infinito simplemente sumando o restando números reales de uno bruto. Si se puede crear un cuadrado en pasos gruesos de uno, se puede crear una rosquilla cuadrada en pasos de uno menos uno. De esta manera, es muy sencillo diferenciar entre cualquiera de las formas en la secuencia de alfombras.
Eso parece útil. La incapacidad para realizar un seguimiento de los procesos matemáticos en o cerca del infinito de manera consistente ha frustrado a matemáticos y físicos durante siglos.
Entonces, si Sergeyev ha encontrado una forma de evitar esto que funcione, es claramente un avance muy significativo.
Ref: arxiv.org/abs/1203.3150 : Evaluación de los valores infinitesimales exactos del área de la alfombra de Sierpinski y el volumen de la esponja de Menger