Este algoritmo puede decir qué secuencias numéricas le resultarán interesantes a un humano

Una de las curiosas propiedades de las matemáticas es su belleza. Pero es difícil captar exactamente lo que los matemáticos entienden por belleza.

Quizás el ejemplo más famoso es la relación de Euler, e I π + 1 = 0, lo que revela un vínculo profundo entre áreas de las matemáticas aparentemente no relacionadas. Por ejemplo, |_+_| proviene de la geometría, Y y I provienen del álgebra, y las primitivas 0 y 1 junto con las operaciones + y = provienen de la teoría de números. Que se relacionen de una forma tan sencilla e inesperada es una de las grandes maravillas del mundo matemático.

Y eso apunta a otro componente de la belleza matemática: los patrones matemáticos deben ser interesantes de alguna manera. Reconocer estos patrones interesantes siempre ha sido una capacidad exclusivamente humana.

Pero en los últimos años, las máquinas se han convertido en herramientas de reconocimiento de patrones enormemente capaces. De hecho, han comenzado a superar a los humanos en el reconocimiento de rostros, el reconocimiento de objetos y también en una variedad de roles de juego.

Y eso plantea una posibilidad interesante: ¿Pueden los algoritmos de aprendizaje automático identificar patrones interesantes o elegantes en matemáticas? ¿Podrían incluso ser árbitros de la belleza matemática?

Hoy recibimos una especie de respuesta gracias al trabajo de Chai Wah Wu en el Centro de Investigación TJ Watson de IBM en el estado de Nueva York. Wu ha construido un algoritmo de aprendizaje automático que ha aprendido a identificar ciertos tipos de elegancia en estructuras matemáticas y lo usó para filtrar secuencias interesantes de secuencias completamente aleatorias.

La técnica utiliza una base de datos inusual llamada Enciclopedia en línea de secuencias enteras , creado originalmente en la década de 1960 por el matemático Neil Sloane y colocado en la web en 1996.

Una sucesión de enteros es una serie de números que se ordenan de acuerdo con una regla. Los ejemplos famosos incluyen los números primos, números que solo se pueden dividir entre sí mismos y 1 ( A000040 ); la secuencia de Fibonacci, en la que cada término es la suma de los dos términos anteriores ( A000045 ); e incluso ejemplos triviales como la secuencia de números impares o los números primos que empiezan por 7.

De hecho, los matemáticos que dirigen la OEIS recorren la red ampliamente en busca de secuencias interesantes y, por lo tanto, han incluido una amplia gama de ejemplos con un significado puramente cultural. Estos incluyen números primos que contienen la secuencia 666, el llamado número de la bestia.

La base de datos incluso incluye la secuencia de números primos que contienen el número 667 ( A138563 ). Este número se consideró significativo porque cuando las máquinas de fax eran comunes, las personas a menudo tenían un número de fax que era su número de teléfono más 1. En otras palabras, si su número de teléfono fuera 123-4567, su número de fax sería 123-4568. De esta forma de pensar, 667 es el número de fax de la bestia, y por lo tanto de importancia cultural (después de todo, los editores son humanos).

Hoy en día, la base de datos de Secuencias enteras contiene unas 300.000 secuencias, y tanto aficionados como profesionales envían nuevas cada día, muchas de las cuales insinúan problemas nuevos e interesantes en matemáticas.

La tarea que asumió Wu fue encontrar una manera de distinguir estas secuencias interesantes de las generadas aleatoriamente. Y su idea era encontrar leyes empíricas que pudieran actuar como medidas de interés que pudieran distinguirlas de las no interesantes.

Las leyes empíricas no son teoremas matemáticos. per se pero son observaciones empíricas de relaciones que parecen aplicarse a muchos conjuntos de datos naturales y hechos por el hombre, dice Wu. Los ejemplos incluyen la Ley de Moore en ingeniería eléctrica y el principio de Pareto 80/20 en economía. No se entiende completamente por qué estas leyes se cumplen, pero se mantienen de todos modos.

Un principio empírico que se aplica a muchos conjuntos de datos es la Ley de Benford. Esto fue descubierto por el matemático y astrónomo canadiense Simon Newcomb en 1881. Newcomb notó que las páginas anteriores en los libros de tablas de logaritmos estaban más hojeadas que las páginas posteriores, lo que sugiere que los logaritmos que comienzan con el dígito 1 eran más comunes.

Esto lo llevó a formular el principio de que en cualquier conjunto de datos, más números comenzarían con 1 que cualquier otro número. La misma idea fue redescubierta y popularizada por Frank Benford en la década de 1930.

La Ley de Benford se aplica a una amplia gama de conjuntos de datos, como facturas de electricidad, direcciones de calles, precios de acciones, etc. Es tan predecible que puede usarse para detectar fraudes en cuentas financieras. Pero no se aplica a secuencias aleatorias. Exactamente por qué no se entiende claramente.

De hecho, es algo así como un rompecabezas que los matemáticos hayan descubierto que la Ley de Benford se aplica a algunas secuencias enteras. Pero, ¿cuán ampliamente se aplica en estas secuencias?

Para averiguarlo, Wu midió qué tan bien la ley predice la distribución de los primeros dígitos en 40 000 secuencias elegidas al azar de la base de datos OEIS.

Resulta que la Ley de Benford surge con mucha más frecuencia de lo esperado. Los resultados muestran que muchas secuencias, pero no todas, satisfacen hasta cierto punto la Ley de Benford, dice Wu, quien descubrió que otro principio empírico llamado Ley de Taylor también estaba ampliamente presente.

La siguiente pregunta fue un simple paso más allá: ¿Podrían usarse la Ley de Benford y la Ley de Taylor para distinguir secuencias aleatorias de aquellas en el OEIS?

Para averiguarlo, Wu generó 40 000 secuencias de números enteros aleatorios y los agregó a las 40 000 secuencias seleccionadas de la OEIS. Luego entrenó un algoritmo de aprendizaje automático para detectar secuencias OEIS utilizando la Ley de Benford y la Ley de Taylor y distinguirlas de secuencias aleatorias.

Los resultados son impresionantes. El algoritmo funcionó con una precisión de 0,999 y una precisión de 0,9984. Eso es significativo porque establece la posibilidad de un proceso automatizado para detectar secuencias interesantes.

Una aplicación es inmediatamente evidente. Los matemáticos que dirigen la OEIS actualmente tienen que procesar unas 10.000 presentaciones al año. Por lo tanto, una forma de detectar automáticamente lo más interesante podría ser útil.

Sin embargo, el enfoque tiene algunas limitaciones significativas. Los matemáticos han definido muchas secuencias interesantes e importantes que tienen un número infinito de términos pero que son difíciles de calcular. En consecuencia, la base de datos contiene solo un puñado de estos términos. Obviamente, estos no son adecuados para este tipo de análisis basado en máquinas.

La pregunta más amplia es si este enfoque puede identificar la elegancia o la belleza en las matemáticas. Como pregunta Wu: ¿Puede el aprendizaje automático identificar atributos cualitativos del conocimiento científico? es decir, ¿podemos decir si un resultado científico es elegante, simple o interesante?

Este objetivo puede no ser del todo fútil. Si las leyes empíricas como las de Benford y Taylor son un indicador de interés, como sugiere este trabajo, entonces tal vez se pueda considerar a este algoritmo como un árbitro de la elegancia, al menos en algún nivel.

Euler, de la relación del mismo nombre y uno de los más grandes matemáticos de la historia, seguramente quedaría fascinado.

Ref: https://arxiv.org/abs/1805.07431 ¿Puede el aprendizaje automático identificar matemáticas interesantes? Una exploración utilizando leyes observadas empíricamente

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