Cómo convertir las matemáticas complejas del cálculo vectorial en imágenes simples

En 1948, la revista Physical Review publicó un artículo titulado Enfoque espacio-temporal de la electrodinámica cuántica por un joven físico llamado R.P. Feynman en la Universidad de Cornell. El documento describía una nueva forma de resolver problemas en electrodinámica utilizando matrices. Sin embargo, hoy se recuerda por un invento mucho más poderoso: el diagrama de Feynman, que apareció allí impreso por primera vez.

Los diagramas de Feynman han tenido un gran impacto en la física. Son representaciones pictóricas de las matemáticas que describen la interacción entre partículas subatómicas. Matemáticamente, cada interacción es una serie infinita, por lo que incluso las interacciones simples entre partículas son fantásticamente complejas de escribir de esta manera.

La genialidad de Feynman fue representar estas series con líneas simples en un formato gráfico, lo que permitió a los científicos pensar en la física de partículas de maneras nuevas y emocionantes.

Feynman y otros inmediatamente comenzaron a extender sus ideas utilizando esta abreviatura gráfica. De hecho, el físico estadounidense Frank Wilcjek, que trabajó con Feynman en la década de 1980, escribió una vez: Los cálculos que finalmente me dieron el Premio Nobel en 2004 habrían sido literalmente impensables sin los diagramas de Feynman.

Por supuesto, muchas otras áreas de la física se basan en matemáticas complejas. Y eso plantea la interesante pregunta de si las innovaciones basadas en gráficos podrían simplificar estos cálculos y quizás iniciar una nueva era de innovación, tal como lo hizo Feynman.

Ingrese a Joon-Hwi Kim en la Universidad Nacional de Seúl en Corea del Sur y un par de colegas que han ideado una innovación similar para el cálculo vectorial: una abreviatura basada en gráficos para una de las herramientas matemáticas más comunes y poderosas en la ciencia. Anticipamos que el cálculo vectorial gráfico reducirá las barreras en el aprendizaje y la práctica del cálculo vectorial, como lo hicieron los diagramas de Feynman en la teoría cuántica de campos, dicen.

Primero algunos antecedentes. El cálculo vectorial es la rama de las matemáticas que se ocupa de la diferenciación e integración de campos vectoriales. La razón por la que es tan importante en física es que más o menos todo en el universo se puede describir en términos de campos vectoriales: campos electromagnéticos, campos gravitatorios, flujo de fluidos, etc.

Es por eso que cada estudiante de física e ingeniería pasa muchas horas felices luchando con las matemáticas y la notación arcana que requiere. El problema es que los campos vectoriales son entidades intrincadas: asignan un solo vector a cada punto en el espacio tridimensional y pueden ser representaciones de objetos matemáticos más complejos llamados variedades diferenciables. Entonces, en su forma más simple, un campo vectorial puede ser una lista infinita de vectores.

Los matemáticos representan estos campos usando un enfoque llamado notación de índice. Un vector se puede escribir como al donde I = 1, 2 o 3 en el espacio tridimensional. Otra forma de escribir esto es: = [ a 1, a 2, a 3].

Los problemas surgen cuando estas cantidades interactúan matemáticamente. Los campos vectoriales se pueden multiplicar por escalares o entre sí de dos maneras diferentes, conocidas como producto escalar y producto vectorial. Y los resultados pueden ser fantásticamente complejos: enormes matrices multidimensionales.

En todos estos casos, los índices de los campos vectoriales involucrados deben ser rastreados cuidadosamente. Cualquier físico sabrá lo fácil que es perder un índice, y el dolor que implica volver a encontrarlo

Luego está el desafío de averiguar cómo cambian estos campos con el tiempo, o en relación con alguna otra variable. Este es el problema de la diferenciación, para el cual los físicos han desarrollado una gama de herramientas conocidas como operadores, siendo quizás el más famoso el del operator .

El avance que han hecho Kim y sus colegas es desarrollar una notación basada en gráficos que reemplaza la notación de índice. Representan un vector como un cuadro con una línea adjunta. Por el contrario, un escalar no tiene líneas que se extiendan desde él.

Cuando dos vectores se multiplican a través de un producto escalar, el resultado es una cantidad escalar. La notación de Kim y compañía se encarga de esto automáticamente. En un producto escalar, las líneas asociadas con los dos vectores se conectan entre sí, creando un objeto sin líneas externas, en otras palabras, un escalar.

Pero un producto cruzado entre dos vectores produce otro vector, y nuevamente la notación de Kim y compañía maneja esto automáticamente. El gráfico de un producto vectorial tiene forma de y, con las líneas de los dos vectores conectadas a una tercera que se extiende hacia afuera. En otras palabras, esto forma un vector.

Este es solo el comienzo. Los investigadores continúan describiendo una amplia gama de otras herramientas matemáticas, como el operador del junto con varias identidades importantes utilizadas en el cálculo vectorial. Y extienden sus ideas a los tensores, que son objetos matemáticos más complejos, cada uno con dos o más índices.

Los resultados muestran una economía notable. Kim y compañía muestran cómo su notación convierte expresiones matemáticas complejas en gráficos relativamente simples, como los diagramas de Feynman. El lenguaje es muy intuitivo y simplifica automáticamente las expresiones tensoriales, dicen.

Hay una utilidad significativa aquí. Kim y compañía dicen que su enfoque cambia el cálculo de campo vectorial en una tarea visual, como construir con piezas de Lego. Como un niño que juega con juguetes educativos como bloques de Lego o palos de construcción magnéticos, será una experiencia entretenida 'hacer garabatos con los diagramas de baile', dicen. Como los diagramas de Feynman son el lenguaje más natural para describir el proceso microscópico de las partículas elementales, la notación gráfica es el lenguaje canónico del sistema de cálculo vectorial.

Esa es una gran afirmación con un enorme potencial. No hay duda de que los diagramas de Feynman han cambiado la forma en que los físicos piensan sobre la física de partículas. Pero el cálculo vectorial tiene un alcance aún mayor como fundamento matemático de gran parte de la física y la ingeniería modernas.

La gran pregunta es cuán ampliamente se difundirán las ideas. Eso determinará si esta notación gráfica desencadena un cambio transformador en la forma en que pensamos sobre la física o forma una curiosa nota a pie de página en la historia de la invención matemática. De cualquier manera, Feynman seguramente se habría divertido.

Ref: arxiv.org/abs/1911.00892 : Potenciando el Cálculo Vectorial con la Notación Gráfica

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